A. PENGERTIAN HIMPUNAN
Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau
objek-objek yang telah terdefinisi secara jelas atau sekumpulan objek yang
mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara
anggota-anggotanya.
Contoh himpunan:
- Kumpulan kata dalam kamus
- Kumpulan buku dalam perpustakaan
Sifat keterikatan yang ada dalam kumpulan tersebut
biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:
1. Setiap objek dapat dibedakan dari yang satu dengan
yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.
2. Dapat dibedakan mana anggota himpunan dan mana yang
bukan.
B. MENYATAKAN ATAU MENULIS SUATU
HIMPUNAN
1. Cara pendaftaran
Suatu cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan
dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan tersebut.
Contoh : - himpunan bilangan bulat yang kurang dari
sama dengan 18,
ditulis B= {0,1,2,3,...}
-himpunan binatang berkaki 4, ditulis B=
{sapi,babi,anjing,...}
2. Cara pencirian
Suatu cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis
himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan
tersebut.
Contoh: - himpunan bilangan real yang 2,005<x≤10,11
Dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi
R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}
-himpunan bilangan bulat, dinyatakan dalam bentuk
pencirian menjadi: B={x/xϵb}
C. JUMLAH UNSUR SUATU HIMPUNAN
Banyaknya elemen atau unsur yang terkandung didalam
himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”= kardinal.
D. MACAM-MACAM HIMPUNAN
1. Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol
himpunan kosong
i. { }
ii. Ф atau Ǿ
Contoh : - himpunan nama hari yang diawali huruf z
-himpunan bilangan bulat 4<x<5
Jika ditulis dengan cara pencirian menjadi : A= {x/x}
2. Himpunan Bagian
Jika A adalah himpunan, B juga himpunan maka himpunan
A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiapn x
elemen berada dalam himpunan A dan untuk setiap x elemen pula berada dalam
himpunan B.
Simbol : “C”
3. Himpunan Bagian Sejati
Jika A adalah suatu himpunan dan B juga merupakan
suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang sejati dari
himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan B
, paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada dalam
himpunan A.
4. Himpunan berhingga
Suatu himpunan yang elemen unsur/ anggotanya dapat
dihitung banyaknya atau berhingga banyaknya. Biasanya untuk menyatakan atau
menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan dari
elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.
5. Himpunan Tak Berhingga
Suatu himpunan yang elemen / unsur maupun anggotanya
tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan / menulis
himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal dan titulis
3 titik tanpa ada elemen berikutnya.
6. Himpunan Semesta(S)
Suatu himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan
keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.
7. Himpunan Complument ( Ac)
Jika S adalah himpunan semesta dan A merupakan suatu
himpunan bagian dari himpunan S, Maka Ac adalah suatu himpunan yang elemen atau
unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada himpunan A itu sendiri.
8. Himpunan Bersandi
Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan maka
Himpunan A dikatakan himpunan bersandi dari himpunan B jika dan hanya jika
paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan
tersebut mempunyai anggota yang sama.
9. Himpunan Lepas
Jika A adalah suatu Himpunan dan B juga himpunan ,
maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya jiak kedua himpunan
tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling bersekutu.
10. Himpunan Sama
Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan suatu
himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan
hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen berada
pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan sama.
11. Himpunan Sederajat
Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan
suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B
jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.
2. Diagram Venn
Untuk memahami pengertian himpunan semesta perhatikan
contoh berikut ini:
S = {murid-murid di sekolahmu},
A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A,
sehingga himpunan merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
Ini adalah diagram venn. Diagram venn adalah cara lain
untuk menyatakan suatu himpunan dengan gambar atau diagram. Diagram venn ini
pertama kali ditemukan oleh ahli matematika berkebangsaan Inggris yang bernama
John Venn (1834-1923).
3. OPERASI ANTAR HIMPUNAN DAN DIAGRAM VENN
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi
benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini
merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu
konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi
mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan
diagram Venn
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad
ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang
mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan
bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap
sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan
sumber dari mana semua matematika diturunkan.
A. Anggota Himpunan
B. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai
anggota Notasi himpunan kosong adalah { } atau {0} bukan himpunan kosong karena
mempunyai anggota yaitu “nol”.
C. Himpunan bagian
D. Himpunan semesta
adalah himpunan yang memuat semua obyek yang
dibicarakan. notasi "S".
E. Diagram Venn
digunakan untuk menyatakan suatu himpunan atau
hubungan antar himpunan.
F.Menyatakan suatu Himpunan
Dengan kata-kata
Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat
keanggotaannya.
4. Himpunan Bilangan dan Skemanya
1. Himpunan Bilangan Asli
Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita
gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan
seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering
pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai
menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut
membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli.
Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan
yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu.
Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan
anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.
A = {1, 2, 3, 4, …}.
2. Himpunan
Bilangan Cacah
Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas
tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi
jalan-jalan sebanyak 16 orang, hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada
siswa yang memilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak
memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan
bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan
cacah.
Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan
anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan sebagai berikut:
C = {0, 1, 2, 3, 4,…}.
3. Himpunan
Bilangan Bulat
Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara
himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini
dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan
sebagai berikut:
B = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
4. Himpunan
Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan
yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q
disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q.
Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:
5. Himpunan
Bilangan Irasional
Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak
dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q anggota B dan q ≠ 0. Contoh
bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola),
misalnya: 2 , π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.
5 HIMPUNAN BILANGAN BULAT dan RILL
HIMPUNAN BILANGAN BULAT dan RILL juga
SKEMANYA
Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu
:
1. Mendaftarkan semua anggotanya.
Contoh: A = {a,e,i,o,u} - B =
{2,3,5,7,11,13,17,19}
2. Menyatakan sifat yang
dimiliki anggotanya
Contoh:- A = Himpunan vokal dalam abjad latin -
B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
3. Menyatakan sifat dengan pola
Contoh:- P = {0,2,4,8,10,…,48} - Q =
{1,3,5,7,9,11,13,15,…}
Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan
himpunan seperti inibukan merupakan well-defined karena
memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil
yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai
himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini
harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.
4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan
Contoh: - P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7
dan 15}(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14}) - Q = { t | t biangan asli}
(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} - R = { s | s² -1=0, s
bilangan real} (Maksudnya R = {-1,1})
Definisi
himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang
anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar