BAB 14 MATEMATIKA DAN IAD

Pengertian Proposisi (Proposisi)

nilai kebenaran, yaitu: “Benar” (B) saja atau “Salah” (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya.

Contoh 1 :

Sebuah Proposisi atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
a. 13 adalah bilangan ganjil
b. Soekarno adalah alumnus UGM.
c. 1 + 1 = 2
d. 8 ³ akar kuadrat dari 8 + 8
e. Ada monyet di bulan

f. Hari ini adalah hari Rabu
g. Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap
h. x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil

Contoh 2 :

Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi
a Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
b Isilah gelas tersebut dengan air!
c x + 3 = 8
d x > 3

Lambang Proposisi
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Soekarno adalah alumnus UGM.
r : 2 + 2 = 4

Jenis-jenis Kalimat Matematika

Ada dua jenis kalimat matematika:

a. Kalimat tertutup, yaitu suatu kalimat yang nilai kebenarannya sudah pasti.
Contoh: 2 x 3 = 6 (kalimat tertutup yang pasti benar)
2 + 3 = 6 (kalimat tertutup yang pasti salah)

b. Kalimat terbuka, yaitu suatu kalimat yang nilai kebenarannya belum pasti.
Contoh: x + 8 > 0, jika x = 1 akan menjadi Proposisi yang benar, namun jika x = -9 akan menjadi Proposisi yang salah.

TABEL KEBENARAN PROPOSISI

Tabel Kebenaran (Truth Table) adalah alat atau tabel yang digunakan untuk memberikan nilai dengan aturan tertentu.  Tabel kebenaran menunjukkan secara sistematis satu demi satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang sederhana.
Untuk melengkapi tabel kebenaran proposisi, terlebih dahulu kita harus mengetahui berapa banyak pernyataan yang termuat yang berlainan dalam tabel itu.  Langkah ini mutlak diperlukan agar tidak ada kemungkinan komposisi nilai kebenaran yang mungkin tak tertuliskan.

                                                       

A.   TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1][1]

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.

Diubah ke variabel proposional:

A  Tono pergi kuliah

B  Tini pergi kuliah

C  Siska tidur

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B                                   (Premis)

(2)   C → B                                   (premis)

   (3) (A V C) → B                  (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B        

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2][2].

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.      (p ʌ  ~q)  p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.      [(p  q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

p	q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

(1)                       (2)                   (3)                      (4)                                    (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk           [(p  q) ʌ p] p  q selalu benar

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

a.     (p ʌ q)  q

Penyelesaian:

(p ʌ q)  q  ~(p ʌ q) v q

                         ~p v ~q v q

             ~p v T

             T .............(Tautologi)[3][3]

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P	q	(p ʌ q)	(p ʌ q)  q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

b.     q  (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

                          ~q v (q v p)

                          T v p

                          T ............(Tautologi)

B.   KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4][4]

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A)selalu salah.

2.      P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

C.   Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1.      Hukum komutatif:

p ʌ q  q ʌ p

p v q q v p

2.      Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r  p v (q v r)

3.      Hukum distributif:

p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

4.      Hukum identitas:

p ʌ T  p

p v F  p

5.      Hukum ikatan (dominasi):

P v T  T

P v F  F

6.      Hukum negasi:

P v ~p  T

P ʌ ~p  F

7.      Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p)  p

8.      Hukum idempoten:

P ʌ p  p

p v p  p

9.      Hukum de morgan:

~( p ʌ q)  ~p v ~q

~(p v q)  ~p ʌ ~q

10.   Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q)  p

P ʌ (p v q)  p

11.  Hukum T dan F:

~T  F

~F  T

12.  Hukum implikasi ke and/or:

P  q  ~p v q[5][5]

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1.      Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  ~p

Jawab:

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)

                                      ~p ʌ (q v ~q)

                                      ~p ʌ T

                                      ~p ...........(terbukti)

2.      Tunjukkan bahwa:  ~(p v q)  (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

p	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	(~p ʌ ~q)
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

(1)                    (2)             (3)           (4)             (5)                   (6)                        (7)  

Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

Jadi, ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

Proporsisi aljabar

Setiap proposisi yang saling ekuivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Dibawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi,

1. Hukum Idempoten (Idem)

a.       p∨q ek p                           b. p∧p ek p

2. Hukum Asosiatif (As)

a.       (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)

b.      (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

3. Hukum  Komutatif (Kom)

a.       p∨q ek q∨p

b.      p∧q ek q∧p

4. Hukum Distributif (Dist)

a.       p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)

b.      p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

5. Hukum identitas (Id)

a.       p∨F ek p

b.      p∨B ek B

c.       p∧S ek S

d.      p∧T ek p

6. Hukum Komplemen (Komp)

a.       p∨∼p ek B

b.      p∧∼p ek S

c.       ∼(∼p) ek p

d.      ∼B ek S

7. Hukum Transposisi

p⇒q ek ∼q⇒∼p

8.Hukum Implikasi (Imp)

p⇒q ek ∼p∨q

9.Hukum Ekivalensi (Eki)

a.       p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)

b.      p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

10.Hukum Eksportasi (Eks)

(p∧q) ⇒r ek p⇒(q⇒r)

11.Hukum De Morgan

a.       ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q

 b.       ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q

 IMPLIKASI LOGIK                                                                                                                                                      Implikasi (proposisi bersyarat)

Implikasi adalah Misalkan ada 2 pernyataan p dan q, untuk menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan menjadikan q bernilai benar juga, diletakkan kata “JIKA” sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan kata “MAKA” sebelum pernyataan kedua sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan “IMPLIKASI/PERNYATAAN BERSYARAT/KONDISIONAL/ HYPOTHETICAL
”.àdengan notasi “
 q dapat dibaca :àNotasi p
1. Jika p maka q
2. q jika p
3. p adalah syarat cukup untuk q
4. q adalah syarat perlu untuk p
Tabel kebenaran implikasi

 q®p q p
T T T
T F F
F T T
F F T
 

B. Contoh Implikasi
• Contoh ke-1
p : Pak Ali adalah seorang haji.
q : Pak Ali adalah seorang muslim.
p _ q : Jika Pak Ali adalah seorang haji maka pastilah dia seorang muslim.

Implikasi dari p ke q dinyatakan dengan, p>q, ialah proposisi yang bernilai salah
jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah.
Proposisi p disebut anteseden(premis/hipotesa) dan proposisi q disebut konsekuen(konklusi/kesimpulan).
• Contoh ke-2
a. Jika adik lulus ujian, maka ia mendapat hadiah dari ayah.
b. Jika suhu mencapai 80°C, maka alarm berbunyi.
c. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri
Pernyataan berbentuk “jika p, maka q” semacam itu disebut proposisi bersyarat atau kondisional atau implikasi.

DEFINISI : Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q”
disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan
p q
Proposisi p disebut hipotesis (atau antesenden atau premis atau kondisi) dan proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).

Sumber :

https://id.wikipedia.org/wiki/Proposisi

https://muthiashri.wordpress.com/2014/04/29/artikel-16/

http://nurhavida.blogspot.co.id/2013/04/makalah-hukum-hukum-aljabar-proposisi.html

https://indahkwardani.wordpress.com/2014/06/28/logika/

https://sucilaksmi1704.wordpress.com/materi-smu-kelas-xi/logika-matematika/kalimat-ingkaran-negasi/

BAB 13 MATEMATIKA DAN IAD

BAB 13 Fungsi

FUNGSI

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

·         Fungsi satu-satu dan pada

·         Dalam suatu fungsi ada yang merupakan hanya Fungsi Pada atau Fungsi Satu-Satu saja tapi ada yang termasu kedua-duanya. Fungsi yang merupakan fungsi satu-satu dan pada biasanya disebut dengan Fungsi Bijeksi. Secara matematis ditulis sebagai berikut.

·         Definisi :

·         Pemetaan (fungsi) f : A B dikatakan bijeksi (bijection) jika f adalah Fungsi Satu-Satudan Fungsi Pada.

·         Secara sederhana bahwa Fungsi Bijeksi akan terjadi jika jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain. Dengan catatan bahwa tidak ada dua domain berbeda atau lebih dipetakan ke kodomain yang sama dan setiap kodomain memiliki pasangan di domain.

·         Perhatikan diagram pemetaan dibawah ini.

·         

·         Keterangan :

·         Pemetaan pertama merupakan Fungsi Bijeksi karena sudah sesuai dengan Difinisi.

·         Pemetaan kedua bukan Fungsi Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadiFungsi Pada. Perhatikan “d” dan “e” di domain, kedua anggota domain tersebut dipetakan ke anggota domain yang sama (lihat Definisi Fungsi Satu-Satu)

·         Pemetaan ketiga bukan Fungsi Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadiFungsi Satu-Satu. Karena terdapat anggota kodomain yaitu “9″ yang tidak memiliki pasangan pada anggota domain.

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalahdaerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

2. Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Sumber :

 http://andreana123.blogspot.co.id/2014/07/normal-0-false-false-false-en-us-x-none.html